Упростите выражение: а) y+ 3y/y-3 б) 2/x-5 + x+5/5x в) 4/x+4 - x/x-4 г) 2p-q/p2+qp + p-2q/pq+q2

Чтобы упростить каждое из этих выражений, давай разберем их по частям:

а) $\frac{y + 3y}{y - 3}$

1. В числителе $y + 3y = 4y$, потому что мы складываем одинаковые переменные (суммируем коэффициенты).
2. Получаем выражение: $\frac{4y}{y - 3}$.

Это упрощенное выражение.

б) $\frac{2}{x - 5} + \frac{x + 5}{5x}$

1. Чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю. У нас два знаменателя: $(x - 5)$ и $5x$.

2. Общий знаменатель будет $5x(x - 5)$. Теперь преобразуем каждую дробь:

   • Первая дробь $\frac{2}{x - 5}$ умножается на $\frac{5x}{5x}$, чтобы знаменатель стал $5x(x - 5)$. Получаем:
     $\frac{2 \cdot 5x}{(x - 5) \cdot 5x} = \frac{10x}{5x(x - 5)}$.

   • Вторая дробь $\frac{x + 5}{5x}$ умножается на $\frac{x - 5}{x - 5}$, чтобы знаменатель стал $5x(x - 5)$. Получаем:
     $\frac{(x + 5)(x - 5)}{5x(x - 5)}$.

3. Теперь у нас две дроби с одинаковым знаменателем, и мы можем их сложить:

   $$\frac{10x + (x + 5)(x - 5)}{5x(x - 5)}.$$

4. Раскроем скобки в числителе:

   $$(x + 5)(x - 5) = x^2 - 25,$$

   и тогда числитель будет:

   $$10x + x^2 - 25.$$

5. Таким образом, окончательное выражение:

   $$\frac{x^2 + 10x - 25}{5x(x - 5)}.$$

в) $\frac{4}{x + 4} - \frac{x}{x - 4}$

1. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $(x + 4)(x - 4)$.

2. Преобразуем каждую дробь:

   • Первая дробь $\frac{4}{x + 4}$ умножается на $\frac{x - 4}{x - 4}$, чтобы знаменатель стал $(x + 4)(x - 4)$:

     $$\frac{4(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)} = \frac{4x - 16}{(x + 4)(x - 4)}.$$

   • Вторая дробь $\frac{x}{x - 4}$ умножается на $\frac{x + 4}{x + 4}$, чтобы знаменатель стал $(x + 4)(x - 4)$:

     $$\frac{x(x + 4)}{(x + 4)(x - 4)} = \frac{x^2 + 4x}{(x + 4)(x - 4)}.$$

3. Теперь вычитаем дроби с одинаковым знаменателем:

   $$\frac{4x - 16 - (x^2 + 4x)}{(x + 4)(x - 4)}.$$

4. Упростим числитель:

   $$4x - 16 - x^2 - 4x = -x^2 - 16.$$

5. Итоговое выражение:

   $$\frac{-x^2 - 16}{(x + 4)(x - 4)}.$$