Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задано уравнением
s=-t^3+9t^2-24t+1Найти максимальную скорость движения этой точки?

Чтобы найти максимальную скорость точки, нужно сначала выразить скорость через производную пути по времени. Давайте подробно разберём этот процесс.

Шаг 1: Найдём скорость

Путь $s(t)$ точки задан функцией:

Скорость — это производная пути по времени:

Возьмём производную от функции $s(t)$:

Таким образом, скорость точки в момент времени $t$ выражается формулой:

Шаг 2: Найдём критические точки

Чтобы найти максимальную скорость, нужно найти критические точки, для этого решим уравнение $v'(t) = 0$, то есть найдём моменты времени, когда скорость равна нулю. Для этого возьмём производную от $v(t)$:

Приравняем производную к нулю:

Шаг 3: Определим, максимальна ли скорость в этой точке

Теперь нам нужно определить, является ли $t = 3$ точкой максимума скорости. Для этого найдём вторую производную скорости:

Так как вторая производная отрицательна ($v''(t) = -6 < 0$), это означает, что функция $v(t)$ имеет максимум в точке $t = 3$.

Шаг 4: Найдём максимальную скорость

Теперь, зная, что точка $t = 3$ — это точка максимума, подставим $t = 3$ в выражение для скорости $v(t)$:

Таким образом, максимальная скорость движения точки равна 3 единицы пути в единицу времени.

Ответ:

Максимальная скорость точки равна 3.