1. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии 5; 2; -1;...

2. Рыболов в 5 часов утра на моторной лодке отправился от пристани против течения реки, через некоторое время бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно в 10 часов утра того же дня. На какое расстояние от пристани он отплыл,
если скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?

Задача 1: Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии

Дано:

1. Первый член $a_1 = 5$,
2. Второй член $a_2 = 2$,
3. Разность $d = a_2 - a_1 = 2 - 5 = -3$.

Формула $n$-го члена арифметической прогрессии:

Формула суммы первых $n$ членов прогрессии:

Найдём $a_{10}$ (десятый член прогрессии):

Подставим значения в формулу суммы:

Ответ: сумма первых десяти членов равна $-85$.

Задача 2: Расстояние от пристани

Дано:

1. Собственная скорость лодки $v_{\text{лодки}} = 6 \, \text{км/ч}$,
2. Скорость течения $v_{\text{течения}} = 2 \, \text{км/ч}$,
3. Время рыбалки $t_{\text{рыбалки}} = 2 \, \text{ч}$,
4. Общее время путешествия $T_{\text{общее}} = 10 - 5 = 5 \, \text{ч}$.

Ход решения:

1. Общее время включает:

   • Время движения против течения ($t_{\text{туда}}$),
   • Время рыбалки ($t_{\text{рыбалки}} = 2 \, \text{ч}$),
   • Время движения по течению ($t_{\text{обратно}}$).
   $$t_{\text{туда}} + t_{\text{рыбалки}} + t_{\text{обратно}} = 5 \, \text{ч}.$$

2. Скорости движения:

   • Против течения: $v_{\text{туда}} = v_{\text{лодки}} - v_{\text{течения}} = 6 - 2 = 4 \, \text{км/ч}$,
   • По течению: $v_{\text{обратно}} = v_{\text{лодки}} + v_{\text{течения}} = 6 + 2 = 8 \, \text{км/ч}$.

3. Пусть расстояние от пристани $x \, \text{км}$. Тогда:

   • Время туда: $t_{\text{туда}} = \frac{x}{v_{\text{туда}}} = \frac{x}{4}$,
   • Время обратно: $t_{\text{обратно}} = \frac{x}{v_{\text{обратно}}} = \frac{x}{8}$.

4. Уравнение времени:

   $$\frac{x}{4} + 2 + \frac{x}{8} = 5$$

5. Решим уравнение:

   $$\frac{x}{4} + \frac{x}{8} = 3$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{2x}{8} + \frac{x}{8} = 3 \implies \frac{3x}{8} = 3$$