выяснить при каких значениях Х значение производной функции F(x)=x^2 - 6x - 8lnx равно 0

Для того чтобы определить, при каких значениях $x$ значение производной функции $F(x) = x^2 - 6x - 8\ln x$ равно нулю, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную $F'(x)$:

Функция $F(x)$ состоит из трёх слагаемых:

• $x^2$,
• $-6x$,
• $-8\ln x$.

Производная каждого из них:

• Производная от $x^2$: $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$,
• Производная от $-6x$: $\frac{d}{dx}(-6x) = -6$,
• Производная от $-8\ln x$: $\frac{d}{dx}(-8\ln x) = -\frac{8}{x}$.

Объединяя эти результаты, производная функции $F(x)$:

2. Уравняем производную нулю:

Теперь нужно решить уравнение:

3. Приводим уравнение к общему знаменателю:

Уравнение можно переписать, умножив на $x$ (при условии, что $x > 0$, так как $\ln x$ определён только для $x > 0$):

Раскроем скобки:

4. Решим квадратное уравнение:

Уравнение $2x^2 - 6x - 8 = 0$ делим на 2 для упрощения:

Разложим на множители:

Таким образом, $x = 4$ или $x = -1$.

5. Проверяем область допустимых значений:

Поскольку $\ln x$ определён только для $x > 0$, значение $x = -1$ исключается. Остаётся:

Ответ:

Значение производной функции $F(x) = x^2 - 6x - 8\ln x$ равно нулю при $x = 4$.