В ромбе ABCD биссектриса угла BAC пересекает сторону BC и диагональ BD соответственно в точках M и N . Найдите угол ANB если угол AMC равен 120

Рассмотрим задачу и разберем её шаг за шагом:

Дано:

1. $ABCD$ — ромб.
2. Биссектриса угла $BAC$ пересекает:
   • сторону $BC$ в точке $M$,
   • диагональ $BD$ в точке $N$.
3. Угол $AMC = 120^\circ$.
4. Требуется найти угол $ANB$.

Свойства ромба:

1. Углы при диагоналях делятся пополам, а сами диагонали перпендикулярны и делят углы ромба на два равных.
2. Все стороны ромба равны, то есть $AB = BC = CD = DA$.

Ход решения:

1. Рассмотрим биссектрису угла $BAC$:

   • Так как биссектриса делит угол пополам, то угол $BAM = CAM = \frac{\angle BAC}{2}$.

2. Рассмотрим точку пересечения $M$:

   • Угол $AMC = 120^\circ$ дан по условию. Это угол, образованный биссектрисой $AM$ и стороной $BC$.

3. Рассмотрим точку пересечения $N$:

   • Точка $N$ лежит на диагонали $BD$, которая делит угол $BOD$ ромба на два равных угла. Поскольку диагонали ромба перпендикулярны, угол $BOD = 90^\circ$.

4. Рассмотрим треугольник $ANB$:

   • В треугольнике $ANB$ нам нужно найти угол $\angle ANB$.
   • Заметим, что биссектриса $AN$ проходит через точку $N$, деля диагональ $BD$, и пересекается с биссектрисой $\angle BAC$.

5. Используем свойства углов:

   • Угол $\angle AMC = 120^\circ$ накладывает ограничения на расположение точек.
   • В ромбе углы при вершинах, разделённых диагоналями, равны. Это означает, что диагональ $BD$ делит углы $BAD$ и $BCD$ на две равные части.

6. Вычислим $\angle ANB$:

   • Рассмотрим ромб и треугольники $AMB$ и $ANB$.
   • Угол $\angle ANB$ оказывается смежным с углом $\angle AMC$, так как $AM$ и $AN$ находятся на одной прямой.

   Таким образом:

   $$\angle ANB = 180^\circ - \angle AMC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ.$$

Ответ:

$\angle ANB = 60^\circ.$