Биссектриса угла С параллелограмма ABCD пересекает сторону AD в точке М и продолжение стороны AB за точку А в точку N. Найдите периметр параллелограмма, если АN= 4, DМ = 3

Рассмотрим решение задачи пошагово.

Дано:

• Параллелограмм $ABCD$.
• Биссектриса угла $C$ пересекает сторону $AD$ в точке $M$ и продолжение стороны $AB$ за точку $A$ в точке $N$.
• $AN = 4$, $DM = 3$.

Требуется найти:

Периметр параллелограмма.

1. Свойства биссектрисы в параллелограмме

Биссектриса угла делит противоположные стороны или их продолжения в отношении длин соседних сторон. Для параллелограмма $ABCD$ это означает:

Обозначим длины сторон параллелограмма:

• $AB = a$,
• $BC = b$.

Тогда из свойства биссектрисы:

По условию $DM = 3$, обозначим $AM = x$. Тогда:

Отсюда:

2. Работа с точкой $N$

Точка $N$ лежит на продолжении стороны $AB$ за точку $A$. По свойству биссектрисы:

По условию $AN = 4$, а длину стороны $AB = a$. Обозначим $AD = y$ и $DC = y$ (так как $ABCD$ — параллелограмм, противоположные стороны равны). Тогда:

Получается, $a = 4$.

3. Выражение для сторон

Теперь известно, что:

• $AB = a = 4$,
• $BC = b$,
• $AM = \frac{3a}{b} = \frac{12}{b}$.

Длина стороны $AD = y$ совпадает с $BC = b$, так как противоположные стороны в параллелограмме равны.

4. Подставляем в периметр

Периметр параллелограмма выражается формулой:

Подставляем $a = 4$ и $b = y$:

5. Связь через $DM$ и $AM$

Из предыдущих шагов:

Подставляем $AM = \frac{12}{y}$ и $MD = 3$, а $AD = y$:

Умножим на $y$ (предполагая $y > 0$):

Приведем уравнение к стандартному виду:

Решим квадратное уравнение: