Бассейн наполняется двумя трубами, действующими одновременно, за 4 часа. За сколько часов может заполнить бассейн первая труба, действуя в отдельности, если она наполняет бассейн на 6 ч дольше, чем вторая?

Задача сводится к системе уравнений, где мы ищем время, которое требуется каждой трубе для заполнения бассейна. Обозначим время, за которое вторая труба наполняет бассейн, как $x$ часов. Тогда время, за которое первая труба наполняет бассейн, будет равно $x + 6$ часов, так как она делает это на 6 часов дольше.

Теперь давайте определим скорость наполнения бассейна каждой трубой. Если вторая труба заполняет бассейн за $x$ часов, то её скорость заполнения составляет $\frac{1}{x}$ бассейна в час. Первая труба, которая заполняет бассейн за $x + 6$ часов, имеет скорость $\frac{1}{x + 6}$ бассейна в час.

Когда обе трубы работают одновременно, их скорости складываются, и вместе они могут заполнить бассейн за 4 часа. Это означает, что суммарная скорость двух труб будет равна $\frac{1}{4}$ бассейна в час. Таким образом, у нас получается уравнение:

Решим это уравнение. Для этого сначала приведем дроби к общему знаменателю:

Теперь подставим это в исходное уравнение:

Перемножим обе части уравнения на $4x(x + 6)$, чтобы избавиться от знаменателей:

Распределим:

Переносим все члены в одну сторону:

Упрощаем:

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы:

Таким образом, у нас два возможных решения:

Так как время не может быть отрицательным, оставляем $x = 6$.

Теперь мы знаем, что вторая труба заполняет бассейн за 6 часов. Первая труба заполняет бассейн за $x + 6 = 6 + 6 = 12$ часов.

Ответ: первая труба может заполнить бассейн за 12 часов, если она работает отдельно.