В ком­па­нии из 20 че­ло­век 15 че­ло­век поль­зу­ет­ся со­ци­аль­ной сетью «Facebook», а 10 че­ло­век — со­ци­аль­ной сетью «ВКон­так­те». Вы­бе­ри­те утвер­жде­ния, ко­то­рые сле­ду­ют из при­ведённых дан­ных. В этой ком­па­нии

1) найдётся хотя бы 5 че­ло­век, поль­зу­ю­щих­ся обе­и­ми се­тя­ми
2) найдётся че­ло­век, ко­то­рый не поль­зу­ет­ся ни сетью «Facebook», ни сетью «ВКон­так­те»
3) не боль­ше 10 че­ло­век поль­зу­ют­ся обе­и­ми се­тя­ми
4) не найдётся ни од­но­го че­ло­ве­ка, поль­зу­ю­ще­го­ся толь­ко сетью «Facebook»

Рассмотрим утверждения по очереди, основываясь на данных и применяя базовые принципы теории множеств.

Исходные данные:

• Всего людей в компании: $20$.
• Пользуются Facebook: $15$ человек.
• Пользуются ВКонтакте: $10$ человек.

Обозначим:

• $A$ — множество людей, которые пользуются Facebook ($|A| = 15$).
• $B$ — множество людей, которые пользуются ВКонтакте ($|B| = 10$).
• Пересечение $A \cap B$ — множество людей, которые пользуются обеими соцсетями.

По формуле включения-исключения:

Из условия: общее число людей $|A \cup B| \leq 20$, значит:

Таким образом, не менее 5 человек пользуются обеими соцсетями.

Рассмотрим утверждения:

1. Найдётся хотя бы 5 человек, пользующихся обеими сетями.

Верно. Мы только что доказали, что $|A \cap B| \geq 5$. Следовательно, в компании найдётся как минимум 5 человек, которые пользуются и Facebook, и ВКонтакте.

2. Найдётся человек, который не пользуется ни сетью Facebook, ни сетью ВКонтакте.

Неверно.

Подставим минимальное значение $|A \cap B| = 5$:

Это значит, что все 20 человек пользуются хотя бы одной из соцсетей. Человека, не пользующегося ни одной сетью, в компании нет.

3. Не больше 10 человек пользуются обеими сетями.

Верно. $|A \cap B|$ ограничено сверху минимальным количеством пользователей обеих соцсетей. Максимальное пересечение — это все пользователи ВКонтакте ($|B| = 10$), так как пересечение не может быть больше меньшего множества. Следовательно, $|A \cap B| \leq 10$.

4. Не найдётся ни одного человека, пользующегося только сетью Facebook.

Неверно. Число людей, которые пользуются только Facebook, можно найти как:

Следовательно, такие люди есть, и их как минимум 5.

Итог:

Верны утверждения: 1 и 3.