Укажите чему равны произведение и сумма корней уравнения, и определите знаки корней
а) х²-7х+12=0

б) 2х²+3х+1=0

В) х²-4х-32=0

г) 3х²+11х-4=0

Для нахождения произведения и суммы корней уравнения, а также их знаков, используем теорему Виета: для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, сумма корней равна $-\frac{b}{a}$, а произведение корней равно $\frac{c}{a}$.

a) $x^2 - 7x + 12 = 0$

• $a = 1, b = -7, c = 12$
• Сумма корней: $-\frac{b}{a} = -(-7)/1 = 7$
• Произведение корней: $\frac{c}{a} = 12/1 = 12$
• Уравнение можно разложить: $(x - 3)(x - 4) = 0$. Корни $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$ — оба положительные.

б) $2x^2 + 3x + 1 = 0$

• $a = 2, b = 3, c = 1$
• Сумма корней: $-\frac{b}{a} = -3/2$
• Произведение корней: $\frac{c}{a} = 1/2$
• Для нахождения корней решаем через дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$$ Корни: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 1}{4} = -1$$ Оба корня $x_1 = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = -1$ — отрицательные.

в) $x^2 - 4x - 32 = 0$

• $a = 1, b = -4, c = -32$
• Сумма корней: $-\frac{b}{a} = -(-4)/1 = 4$
• Произведение корней: $\frac{c}{a} = -32/1 = -32$
• Для нахождения корней решаем через дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$$ Корни: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 12}{2} = 8, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 12}{2} = -4$$