В равнобедренном треугольнике ABC проведена высота BD к основанию AC.
Длина высоты — 11,9 см, длина боковой стороны — 23,8 см.
Определи углы этого треугольника.

∡BAC=....
°

∡BCA=....
°

∡ABC=....
°

Для решения задачи необходимо использовать геометрические свойства равнобедренного треугольника, а также теорему Пифагора.

Дано:

• Треугольник ABC равнобедренный, то есть AB = AC.
• Высота BD, проведённая к основанию AC, равна 11,9 см.
• Длина боковой стороны AB (или AC) равна 23,8 см.
• Нужно найти углы ∡BAC, ∡BCA и ∡ABC.

Шаг 1. Разбиение на два прямоугольных треугольника

Высота BD делит основание AC пополам, так как треугольник равнобедренный. То есть, если обозначить половину основания через $x$, то: $x = \frac{AC}{2}$

Теперь треугольники ABD и BCD — это прямоугольные треугольники. Из теоремы Пифагора для треугольника ABD можно выразить длину $x$ (половину основания):

$AB^2 = BD^2 + x^2$

Подставляем значения:

$23,8^2 = 11,9^2 + x^2$

Вычисляем:

$567,04 = 141,61 + x^2$

Отсюда:

$x^2 = 567,04 - 141,61 = 425,43$

$x = \sqrt{425,43} \approx 20,64 \, \text{см}$

Таким образом, половина основания AC составляет примерно 20,64 см. Следовательно, полное основание AC будет равно:

$AC = 2x = 2 \times 20,64 = 41,28 \, \text{см}$

Шаг 2. Нахождение углов треугольника

Теперь, когда мы знаем все стороны треугольника, можно найти углы с помощью тригонометрических функций.

Угол ∡ABC (или ∡ACB)

Так как треугольники ABD и BCD одинаковы, то углы ∡ABC и ∡ACB равны. Рассмотрим угол ∡ABC в треугольнике ABD. Мы можем использовать тангенс угла:

Теперь находим угол:

Так как треугольник равнобедренный, угол ∡ABC равен углу ∡ACB, то есть:

Угол ∡BAC

Сумма всех углов в треугольнике равна 180°. Таким образом, угол ∡BAC можно найти как:

Ответ:

• ∡BAC ≈ 120°
• ∡ABC ≈ 30°
• ∡ACB ≈ 30°

Таким образом, углы треугольника ABC: ∡BAC ≈ 120°, ∡ABC ≈ 30°, ∡ACB ≈ 30°.