ПОМОГИТЕ СРОЧНО! ДАЮ 50 БАЛЛОВ При каком значении k являются полным квадратом квадратные трёхчлены (ответы обоснуйте): kx^2-4xy+y^2?
Если в каком-либо пункте может быть несколько значений k, тогда в ответе укажите произведение этих k.

Чтобы найти значение $k$, при котором выражение $kx^2 - 4xy + y^2$ является полным квадратом, нужно определить условия для того, чтобы данный трёхчлен можно было представить как квадрат какого-либо бинома.

Шаг 1. Приведем к стандартной форме полного квадрата

Полный квадрат имеет вид:

Сравним это с выражением $kx^2 - 4xy + y^2$, чтобы найти, какие значения $k$ и другие коэффициенты должны быть для того, чтобы трёхчлен можно было привести к виду полного квадрата.

Шаг 2. Сравнение коэффициентов

1. Коэффициент при $x^2$: В выражении $(a x + b y)^2$ коэффициент при $x^2$ равен $a^2$, а в нашем трёхчлене — $k$. То есть:

   $$a^2 = k$$

2. Коэффициент при $xy$: В выражении $(a x + b y)^2$ коэффициент при $xy$ равен $2ab$, а в нашем трёхчлене — $-4$. То есть:

   $$2ab = -4$$

3. Коэффициент при $y^2$: В выражении $(a x + b y)^2$ коэффициент при $y^2$ равен $b^2$, а в нашем трёхчлене — $1$. То есть:

   $$b^2 = 1$$

Шаг 3. Решение системы

1. Из уравнения $b^2 = 1$ получаем два возможных значения для $b$: $b = 1$ или $b = -1$.

2. Подставим $b = 1$ в уравнение $2ab = -4$:

   $$2a \cdot 1 = -4 \quad \Rightarrow \quad a = -2$$

   Подставим $a = -2$ в уравнение $a^2 = k$:

   $$(-2)^2 = k \quad \Rightarrow \quad k = 4$$

   То есть, для $b = 1$, $k = 4$.

3. Подставим $b = -1$ в уравнение $2ab = -4$:

   $$2a \cdot (-1) = -4 \quad \Rightarrow \quad a = 2$$

   Подставим $a = 2$ в уравнение $a^2 = k$:

   $$2^2 = k \quad \Rightarrow \quad k = 4$$

   Таким образом, для $b = -1$, $k = 4$.

Шаг 4. Ответ

Из этого анализа мы видим, что в обоих случаях $k = 4$. Таким образом, выражение $kx^2 - 4xy + y^2$ является полным квадратом только при $k = 4$.

Ответ: $k = 4$.