Теплоход прошел 54 км по течению реки и 42 км против течения, затратив на весь путь 4 ч. Какова скорость теплохода в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч?

Для решения задачи обозначим следующие величины:

1. Скорость теплохода в стоячей воде — $v$ (км/ч).
2. Скорость течения реки — $u = 3$ км/ч.
3. Скорость теплохода по течению — $v + u$ (км/ч).
4. Скорость теплохода против течения — $v - u$ (км/ч).

Из условия:

• Теплоход прошел 54 км по течению и 42 км против течения.
• На весь путь затрачено 4 часа.

Время, затраченное на движение по течению, равно:

Время, затраченное на движение против течения, равно:

Общее время составляет 4 часа:

Подставим $u = 3$ в уравнение:

Теперь решим это уравнение. Умножим на общий знаменатель $(v + 3)(v - 3)$, чтобы избавиться от дробей:

Раскроем скобки:

Приведем подобные:

Упростим уравнение:

Вынесем общий множитель $4v$:

Решим уравнение:

1. $4v = 0$, отсюда $v = 0$ (не имеет смысла в данной задаче, так как теплоход не может быть неподвижным).
2. $v - 24 = 0$, отсюда $v = 24$.

Таким образом, скорость теплохода в стоячей воде равна 24 км/ч.

Проверка:

1. Скорость по течению: $v + 3 = 27$ км/ч. Время на 54 км: $\frac{54}{27} = 2$ часа.
2. Скорость против течения: $v - 3 = 21$ км/ч. Время на 42 км: $\frac{42}{21} = 2$ часа.
3. Общее время: $2 + 2 = 4$ часа.

Все расчеты верны. Ответ: 24 км/ч.