Лампы определенного типа выпускают только два завода. Среди продукции первого завода 2% бракованных ламп, среди продукции второго – 3%. Известно, что при случайном выборе вероятность купить неисправную лампу этого типа равна 0,024. Найдите вероятность того, что случайно выбранная лампа произведена на первом заводе.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Байеса, которая позволяет вычислить вероятность того, что случайно выбранная лампа произведена на первом заводе.

Обозначения:

1. $A_1$ — лампа произведена на первом заводе.
2. $A_2$ — лампа произведена на втором заводе.
3. $B$ — лампа оказалась неисправной.

Нам известны:

• Вероятность выбрать лампу, произведённую на первом заводе: $P(A_1)$.
• Вероятность выбрать лампу, произведённую на втором заводе: $P(A_2)$.
• Доля бракованных ламп среди продукции первого завода: $P(B|A_1) = 0,02$.
• Доля бракованных ламп среди продукции второго завода: $P(B|A_2) = 0,03$.
• Общая вероятность купить неисправную лампу: $P(B) = 0,024$.

1. Задаём вероятности:

Так как лампы распределяются равномерно между двумя заводами, вероятность того, что лампа произведена на первом или втором заводе, равна:

2. Вычисляем общую вероятность $P(B)$:

Общая вероятность того, что лампа неисправна, вычисляется по формуле полной вероятности:

Подставим значения:

Это совпадает с условием задачи, значит расчёты корректны.

3. Применяем формулу Байеса:

Теперь используем формулу Байеса, чтобы найти вероятность того, что лампа произведена на первом заводе при условии, что она неисправна:

Подставим известные значения:

Выполним вычисления:

Ответ:

Вероятность того, что случайно выбранная неисправная лампа произведена на первом заводе, составляет примерно 41,67%.