Двое рабочих выполнили работу за 12 дней.За сколько дней выполнит каждый рабочий,если одному из них для выполнения всей работы потребуется на 10 дней больше,чем другому?

Рассмотрим задачу пошагово:

1. Обозначим производительности рабочих: Пусть один рабочий выполняет всю работу за $x$ дней, а второй — за $x + 10$ дней. Тогда за один день первый рабочий выполняет $\frac{1}{x}$ работы, а второй — $\frac{1}{x+10}$.

2. Объединённая работа за 12 дней: Вместе они выполняют работу за 12 дней, значит их совместная производительность равна:

   $$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+10}$$

   Поскольку вся работа равна 1, совместная работа за день будет:

   $$12 \cdot \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+10} \right) = 1$$

3. Составим уравнение: Раскроем скобки:

   $$\frac{12}{x} + \frac{12}{x+10} = 1$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{12(x+10) + 12x}{x(x+10)} = 1$$

   Упростим числитель:

   $$\frac{12x + 120 + 12x}{x(x+10)} = 1$$ $$\frac{24x + 120}{x^2 + 10x} = 1$$

4. Уберём знаменатель: Умножим обе стороны на $x^2 + 10x$ (при $x \neq 0$ и $x \neq -10$):

   $$24x + 120 = x^2 + 10x$$

5. Приведём к стандартному виду:

   $$x^2 - 14x - 120 = 0$$

6. Решим квадратное уравнение: Уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = -14$, $c = -120$. Найдём дискриминант:

   $$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4(1)(-120) = 196 + 480 = 676$$

   Корни уравнения:

   $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{676}}{2} = \frac{14 \pm 26}{2}$$ $$x_1 = \frac{14 + 26}{2} = 20, \quad x_2 = \frac{14 - 26}{2} = -6$$

7. Выберем подходящее значение: Отрицательное значение ($x = -6$) не имеет смысла в данной задаче, поэтому $x = 20$.

8. Ответ: Первый рабочий выполнит всю работу за $20$ дней, а второй — за $20 + 10 = 30$ дней.