Какое число надо удалить из набора 1, 2, 3,.... 9, чтобы наименьшее общее кратное оставшихся чисел было самым маленьким из возможных.

Чтобы найти число, которое нужно удалить из набора $1, 2, 3, \ldots, 9$, чтобы наименьшее общее кратное (НОК) оставшихся чисел стало минимальным, давайте разберёмся с основными принципами.

Основные принципы:

1. НОК группы чисел — это наименьшее число, которое делится на каждое из чисел группы.
2. Влияние чисел на НОК:
   • Чем больше простых множителей с высокими степенями содержит число, тем больше оно увеличивает НОК.
   • Например, удаление числа, содержащего много уникальных или высоких простых множителей, приведёт к наибольшему уменьшению НОК.

Шаги решения:

1. Набор чисел и их НОК:

   • Начнём с набора $1, 2, 3, \ldots, 9$. Без удаления чисел НОК для этого набора будет определяться произведением максимальных степеней простых чисел, которые входят в разложение чисел $1$ до $9$: $$\text{НОК} = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520.$$

2. Анализ вклада каждого числа в НОК:

   • $1$: Не влияет на НОК, так как $1$ не содержит простых множителей.
   • $2, 4, 8$: Эти числа содержат степени простого числа $2$. Наибольшее влияние на НОК оказывает $8$ ($2^3$), так как это самая высокая степень $2$.
   • $3, 6, 9$: Эти числа связаны с простым числом $3$. Наибольшее влияние оказывает $9$ ($3^2$).
   • $5$: Это простое число, и его удаление уменьшает НОК, так как $5$ уникально.
   • $7$: Это простое число, и его удаление также уменьшит НОК.

3. Цель — минимизировать НОК:

   • Удаление чисел с наибольшими степенями простых множителей или уникальных простых чисел существенно уменьшает НОК.
   • Удалим каждое число поочерёдно и пересчитаем НОК оставшихся чисел.

Рассчитаем НОК для каждого случая:

• Удалим $8$: НОК оставшихся $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9$: $$\text{НОК} = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 1260.$$
• Удалим $9$: НОК оставшихся $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$: $$\text{НОК} = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 1680.$$
• Удалим $5$: НОК оставшихся $1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9$: $$\text{НОК} = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7 = 840.$$
• Удалим $7$: НОК оставшихся $1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9$: $$\text{НОК} = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 720.$$
• Удалим $6$: НОК оставшихся $1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9$: $$\text{НОК} = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520 \; (\text{не изменилось}).$$

Вывод:

Наименьшее НОК получается при удалении числа $7$. Тогда НОК оставшихся чисел будет равен $720$, что является минимально возможным значением.