Три числа составляют арифметическую прогрессию найдите эти числа если известно что их сумма равна 12 и при увеличение первого числа на 1, второго на 2, и третьего на 11 они составляют геометрическую прогрессию.

Чтобы найти три числа, которые удовлетворяют условиям задачи, разберем ее шаг за шагом:

Условие

1. Три числа составляют арифметическую прогрессию.
2. Их сумма равна $12$.
3. Если первое число увеличить на 1, второе на 2, а третье на 11, то они составляют геометрическую прогрессию.

Обозначения

Пусть числа, составляющие арифметическую прогрессию, будут:

где:

• $a$ — средний член прогрессии,
• $d$ — разность арифметической прогрессии.

Сумма чисел:

Упростим:

Теперь числа:

Второе условие

Если первое число увеличить на 1, второе на 2, а третье на 11, то получится геометрическая прогрессия. Новые числа:

Эти числа должны составлять геометрическую прогрессию. В геометрической прогрессии квадрат среднего члена равен произведению крайних членов:

Рассчитаем:

Раскроем скобки:

Упростим:

Приведем уравнение к стандартному виду:

Решение квадратного уравнения

Решим уравнение:

Дискриминант:

Корни:

Получаем:

Проверка решений

1. Если $d = 13$, то числа:

При увеличении:

Проверим геометрическую прогрессию:

Решение не подходит.

2. Если $d = -3$, то числа:

При увеличении:

Проверим геометрическую прогрессию:

Таким образом шаг ошибки решений нужно уточнить