Три парохода совершают рейс между A и B. Первый пароход проходит в час на 3 км больше второго, а весь рейс совершает на 2 часа быстрее второго. Второй пароход проходит в час на 3 км больше третьего, а весь рейс совершает на 3 часа быстрее третьего. Найдите расстояние AB. Дайте ответ в километрах.

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.

Обозначим:

• $v_1$ — скорость первого парохода (км/ч),
• $v_2$ — скорость второго парохода (км/ч),
• $v_3$ — скорость третьего парохода (км/ч),
• $t_2$ — время в часах, которое тратит второй пароход на рейс от A до B,
• $t_3$ — время в часах, которое тратит третий пароход на рейс от A до B,
• $d$ — расстояние от A до B (км).

Исходя из условий задачи, мы имеем следующие отношения:

1. Первый пароход проходит в час на 3 км больше второго. Это можно записать как:

   $$v_1 = v_2 + 3.$$

2. Первый пароход совершает рейс на 2 часа быстрее второго. Время, которое тратит пароход на рейс, можно выразить как $\frac{d}{v}$. Так как первый пароход на 2 часа быстрее второго, получаем:

   $$\frac{d}{v_1} = \frac{d}{v_2} - 2.$$

   Подставляем $v_1 = v_2 + 3$:

   $$\frac{d}{v_2 + 3} = \frac{d}{v_2} - 2.$$

   Умножаем обе стороны на $v_2(v_2 + 3)$, чтобы избавиться от знаменателей:

   $$d v_2 = d (v_2 + 3) - 2v_2(v_2 + 3).$$

   Упростим это уравнение:

   $$d v_2 = d v_2 + 3d - 2v_2^2 - 6v_2.$$

   Отбрасываем одинаковые $d v_2$ с обеих сторон:

   $$0 = 3d - 2v_2^2 - 6v_2.$$

   Это уравнение можно выразить так:

   $$2v_2^2 + 6v_2 = 3d.$$

   Получили первое уравнение.

3. Второй пароход проходит в час на 3 км больше третьего. Это записываем как:

   $$v_2 = v_3 + 3.$$

4. Второй пароход совершает рейс на 3 часа быстрее третьего. Похожим образом, как и в предыдущем случае, получаем:

   $$\frac{d}{v_2} = \frac{d}{v_3} - 3.$$

   Подставляем $v_2 = v_3 + 3$:

   $$\frac{d}{v_3 + 3} = \frac{d}{v_3} - 3.$$

   Умножаем обе стороны на $v_3(v_3 + 3)$:

   $$d v_3 = d (v_3 + 3) - 3v_3(v_3 + 3).$$

   Упростим:

   $$d v_3 = d v_3 + 3d - 3v_3^2 - 9v_3.$$

   Отбрасываем $d v_3$ с обеих сторон:

   $$0 = 3d - 3v_3^2 - 9v_3.$$