Периметр прямоугольника равен 30, а диагональ равна 14. Найти площадь этого прямоугольника.

Для того чтобы найти площадь прямоугольника, нужно воспользоваться данными о его периметре и диагонали. Рассмотрим задачу шаг за шагом.

1. Обозначим стороны прямоугольника: Пусть стороны прямоугольника будут равны $a$ и $b$.

2. Используем формулу периметра: Периметр прямоугольника равен $P = 2a + 2b$. Из условия задачи периметр равен 30, то есть:

   $$2a + 2b = 30$$

   Упростим это выражение:

   $$a + b = 15$$

   Таким образом, сумма длин сторон прямоугольника равна 15.

3. Используем формулу диагонали: Диагональ прямоугольника можно найти по теореме Пифагора, так как прямоугольник — это прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — это диагональ, а катеты — стороны прямоугольника. Формула для диагонали $d$ следующая:

   $$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$

   Из условия задачи диагональ равна 14, то есть:

   $$\sqrt{a^2 + b^2} = 14$$

   Возведем обе части в квадрат:

   $$a^2 + b^2 = 14^2 = 196$$

4. Составим систему уравнений: У нас есть два уравнения:

   $$a + b = 15$$

   и

   $$a^2 + b^2 = 196$$

   Чтобы решить эту систему, воспользуемся следующим методом. Из первого уравнения выразим $b$ через $a$:

   $$b = 15 - a$$

   Подставим это значение в второе уравнение:

   $$a^2 + (15 - a)^2 = 196$$

   Раскроем скобки:

   $$a^2 + (225 - 30a + a^2) = 196$$

   Сложим подобные термины:

   $$2a^2 - 30a + 225 = 196$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$2a^2 - 30a + 29 = 0$$

   Разделим на 2 для упрощения:

   $$a^2 - 15a + 14.5 = 0$$

   Поиск значения этого уравнения