Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника. P.S. тема: решение задач с помощью систем уравнений второй степени

Для решения задачи с помощью системы уравнений второй степени, нам нужно использовать известные формулы для диагонали и периметра прямоугольника.

Пусть длины сторон прямоугольника — это $a$ и $b$.

Шаг 1: Используем формулу для периметра

Периметр прямоугольника равен сумме всех его сторон, то есть:

Из условия задачи знаем, что периметр прямоугольника равен 28 см, то есть:

Это уравнение можно упростить, разделив обе части на 2:

Шаг 2: Используем формулу для диагонали

Диагональ прямоугольника можно найти с помощью теоремы Пифагора, так как диагональ, стороны прямоугольника и угол между ними образуют прямоугольный треугольник. Согласно теореме Пифагора:

Диагональ прямоугольника равна 10 см, поэтому:

Шаг 3: Решаем систему уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $a + b = 14$
2. $a^2 + b^2 = 100$

Для решения этой системы выразим $b$ через $a$ из первого уравнения:

Теперь подставим это выражение для $b$ во второе уравнение:

Раскроем скобки:

Упростим:

Вычтем 100 из обеих сторон:

Теперь разделим уравнение на 2:

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта. Дискриминант для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

В нашем случае $a = 1$, $b = -14$, и $c = 48$:

Дискриминант положительный, значит, у уравнения два корня. Найдем их по формуле:

Таким образом, у нас два возможных значения для $a$:

Шаг 4: Найдем значения $b$

Теперь, зная значения $a$, найдем $b$ из уравнения $a + b = 14$:

• Если $a = 8$, то $b = 14 - 8 = 6$.
• Если $a = 6$, то $b = 14 - 6 = 8$.

Ответ

Стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.