Докажите тождество пожалуйста cos3a+cosa/sin3a-sina=ctga

Ответы на вопрос

Отвечает Заика Ваня.

Для того чтобы доказать тождество $\frac{\cos 3a + \cos a}{\sin 3a - \sin a} = \cot a$ , воспользуемся несколькими тригонометрическими преобразованиями и формулами.

Шаг 1: Применение формул для $\cos 3a$ и $\sin 3a$

Используем формулы для косинуса и синуса тройного угла:

\cos 3a = 4 \cos^3 a - 3 \cos a

\sin 3a = 3 \sin a - 4 \sin^3 a

Теперь подставим эти выражения в исходное тождество:

\frac{\cos 3a + \cos a}{\sin 3a - \sin a} = \frac{(4 \cos^3 a - 3 \cos a) + \cos a}{(3 \sin a - 4 \sin^3 a) - \sin a}

Шаг 2: Упрощение числителя и знаменателя

Упростим числитель:

\cos 3a + \cos a = (4 \cos^3 a - 3 \cos a) + \cos a = 4 \cos^3 a - 2 \cos a

Теперь упростим знаменатель:

\sin 3a - \sin a = (3 \sin a - 4 \sin^3 a) - \sin a = 2 \sin a - 4 \sin^3 a

Таким образом, выражение становится:

\frac{4 \cos^3 a - 2 \cos a}{2 \sin a - 4 \sin^3 a}

Шаг 3: Вынесение общего множителя

В числителе и знаменателе можно вынести общий множитель:

\frac{4 \cos^3 a - 2 \cos a}{2 \sin a - 4 \sin^3 a} = \frac{2 \cos a (2 \cos^2 a - 1)}{2 \sin a (1 - 2 \sin^2 a)}

Сократим общий множитель 2:

\frac{\cos a (2 \cos^2 a - 1)}{\sin a (1 - 2 \sin^2 a)}

Шаг 4: Преобразование выражений

Теперь заметим, что $2 \cos^2 a - 1$ — это формула для $\cos 2a$ , а $1 - 2 \sin^2 a$ — это формула для $\cos 2a$ , но с противоположным знаком. Таким образом, можно записать:

\frac{\cos a \cos 2a}{\sin a \cos 2a} = \frac{\cos a}{\sin a}

А это, в свою очередь, есть $\cot a$ .

Заключение:

Таким образом, мы доказали, что:

\frac{\cos 3a + \cos a}{\sin 3a - \sin a} = \cot a

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Алгебра

Последние заданные вопросы в категории Алгебра