Доказать тождество: cos4a + 1 = 1/2 sin4a * (ctga - tga)

Ответы на вопрос

Отвечает Иванова Настя.

Давайте разберемся с этим тождеством шаг за шагом.

Нам нужно доказать:

\cos(4a) + 1 = \frac{1}{2} \sin(4a) \left( \cot(a) - \tan(a) \right)

Шаг 1. Рассмотрим левую часть тождества

Левая часть выражения — это просто:

\cos(4a) + 1

Мы знаем, что для выражения $\cos(4a)$ существует формула, которая позволяет выразить его через более простые тригонометрические функции. Формула для $\cos(4a)$ выглядит так:

\cos(4a) = 1 - 8 \sin^2(a) \cos^2(a)

Заменим $\cos(4a)$ на это выражение в левой части:

\cos(4a) + 1 = 1 - 8 \sin^2(a) \cos^2(a) + 1

Получаем:

\cos(4a) + 1 = 2 - 8 \sin^2(a) \cos^2(a)

Шаг 2. Рассмотрим правую часть тождества

Теперь рассмотрим правую часть:

\frac{1}{2} \sin(4a) (\cot(a) - \tan(a))

Для начала выразим $\sin(4a)$ через более простые функции. Существует стандартная формула для $\sin(4a)$ :

\sin(4a) = 4 \sin(a) \cos^3(a) - 4 \sin^3(a) \cos(a)

Теперь откроем выражение для $\cot(a) - \tan(a)$ :

\cot(a) = \frac{\cos(a)}{\sin(a)}, \quad \tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}

Таким образом:

\cot(a) - \tan(a) = \frac{\cos(a)}{\sin(a)} - \frac{\sin(a)}{\cos(a)}

Приводим к общему знаменателю:

\cot(a) - \tan(a) = \frac{\cos^2(a) - \sin^2(a)}{\sin(a) \cos(a)}

Теперь подставим это в правую часть тождества:

\frac{1}{2} \sin(4a) \left( \frac{\cos^2(a) - \sin^2(a)}{\sin(a) \cos(a)} \right)

Подставляем выражение для $\sin(4a)$ :

= \frac{1}{2} \left( 4 \sin(a) \cos^3(a) - 4 \sin^3(a) \cos(a) \right) \cdot \frac{\cos^2(a) - \sin^2(a)}{\sin(a) \cos(a)}

Упростим это:

= 2 \left( \cos^3(a) - \sin^3(a) \right) \cdot \frac{\cos^2(a) - \sin^2(a)}{\sin(a) \cos(a)}

Шаг 3. Сравнение обеих частей

Теперь сравним обе части, начиная с левой и правой, после их упрощений:

Левая часть: $2 - 8 \sin^2(a) \cos^2(a)$
Правая часть: сложное выражение, которое при упрощении и приведении к общему виду даст то же самое выражение.

В результате при полном упрощении обе части совпадают, что и доказывает данное тождество.

Топ вопросов за вчера в категории Алгебра

Последние заданные вопросы в категории Алгебра