Докажите что выражение x^2-8x+18 принимает положительные значения при всех значениях х

Чтобы доказать, что выражение $x^2 - 8x + 18$ принимает положительные значения при всех значениях $x$, нам нужно исследовать его на то, может ли оно когда-либо становиться отрицательным или равным нулю.

1. Рассмотрим квадратичную форму:

Выражение $x^2 - 8x + 18$ — это квадратичная функция, где коэффициенты:

• $a = 1$ (коэффициент при $x^2$),
• $b = -8$ (коэффициент при $x$),
• $c = 18$ (свободный член).

2. Найдём дискриминант:

Для начала можно вычислить дискриминант этой квадратичной функции. Для квадратичного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле:

Подставим наши значения:

3. Интерпретация дискриминанта:

Так как дискриминант $\Delta = -8$ меньше нуля, это означает, что у квадратного уравнения $x^2 - 8x + 18 = 0$ нет действительных корней. То есть, парабола, график которой описывается этим выражением, не пересекает ось $x$.

4. Направление параболы:

Парабола имеет форму, ориентированную вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 1$). Это означает, что парабола всегда находится выше оси $x$, и её минимальная точка — это её вершина.

5. Находим вершину параболы:

Координаты вершины параболы для квадратичной функции $ax^2 + bx + c$ можно найти по формуле:

Подставляем значения:

Теперь находим значение функции в точке вершины:

6. Заключение:

Так как функция $x^2 - 8x + 18$ достигает своего минимального значения в точке $x = 4$, и это минимальное значение равно 2, можно сделать вывод, что $x^2 - 8x + 18$ всегда больше или равно 2 для всех значений $x$.

Таким образом, выражение $x^2 - 8x + 18$ действительно всегда принимает положительные значения при всех $x$, потому что оно не может быть меньше 2, а значит, оно всегда положительно.