Докажите ,что при любых значениях х выражение принимает положительные значения
х²+8х+19

Давайте рассмотрим выражение $x^2 + 8x + 19$ и докажем, что оно всегда положительно для любых значений $x$.

Шаг 1: Преобразуем квадратный трёхчлен

Для начала попробуем привести квадратный трёхчлен к форме полного квадрата. Напоминаю, что полное квадратное выражение имеет вид:

Для выражения $x^2 + 8x + 19$ мы видим, что первые два члена — это $x^2 + 8x$. Чтобы превратить это в полный квадрат, нужно добавить и вычесть число, которое делает выражение полным квадратом.

1. Посмотрим на коэффициент при $x$, который равен 8. Чтобы завершить полный квадрат, нужно взять половину этого коэффициента, то есть $\frac{8}{2} = 4$, и возвести его в квадрат: $4^2 = 16$.
2. Добавим и вычтем это число внутри выражения:

Теперь преобразуем первую часть в полный квадрат:

Шаг 2: Анализ выражения

Мы получили выражение $(x + 4)^2 + 3$.

1. $(x + 4)^2$ — это квадрат любого числа, и он всегда неотрицателен, то есть $(x + 4)^2 \geq 0$ для всех $x$.
2. Следовательно, $(x + 4)^2 + 3 \geq 0 + 3 = 3$.

Таким образом, выражение $x^2 + 8x + 19$ всегда больше или равно 3, независимо от значения $x$. Это означает, что оно никогда не принимает отрицательных значений и всегда положительно.

Заключение

Мы доказали, что для любых значений $x$ выражение $x^2 + 8x + 19$ всегда положительно, так как оно всегда больше или равно 3.