Найди все первообразные функции для выражения 3x³ – 4x².

Конечно! Давай подробно разберём, как найти все первообразные функции (то есть неопределённые интегралы) для данной функции:

Задание: найти все первообразные функции для
$f(x) = 3x^3 - 4x^2$

Шаг 1: Вспомним правило интегрирования степенных функций

Для любого одночлена вида $x^n$, его первообразная находится по формуле:

где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Шаг 2: Применим правило к каждому члену функции

Разобьём нашу функцию на два слагаемых и проинтегрируем каждое по отдельности:

1. $\int 3x^3 \, dx = 3 \cdot \int x^3 \, dx = 3 \cdot \frac{x^{4}}{4} = \frac{3x^4}{4}$

2. $\int -4x^2 \, dx = -4 \cdot \int x^2 \, dx = -4 \cdot \frac{x^3}{3} = -\frac{4x^3}{3}$

Шаг 3: Соберём всё вместе и добавим константу

Теперь просто сложим полученные выражения и добавим $C$:

Ответ:

Все первообразные функции для $f(x) = 3x^3 - 4x^2$ имеют вид:

где $C \in \mathbb{R}$ — произвольная постоянная.

Если есть желание, могу ещё показать, как проверить правильность результата путём дифференцирования.