Найдите целые решения системы неравенств: 5х-1>2х+4 ,х(х-6)-(х+2)(х-3)>=х-30

Давайте разберемся с вашей системой неравенств шаг за шагом.

1. Решаем первое неравенство: $5x - 1 > 2x + 4$.

   Для этого перенесем все члены с переменной $x$ на одну сторону, а числовые члены – на другую: $5x - 2x > 4 + 1,$ $3x > 5.$ Далее, разделим обе стороны на 3: $x > \frac{5}{3}.$

2. Теперь рассмотрим второе неравенство: $x(x - 6) - (x + 2)(x - 3) \geq x - 30$.

   Раскроем скобки: $x^2 - 6x - (x^2 - 3x + 2x - 6) \geq x - 30,$ $x^2 - 6x - x^2 + x + 6 \geq x - 30.$ Сократим $x^2$ и перегруппируем члены: $-5x + 6 \geq -30,$ $-5x \geq -36.$ Теперь разделим обе стороны на -5, помня о том, что при делении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $x \leq \frac{36}{5}.$

Теперь у нас есть два неравенства:

1. $x > \frac{5}{3}$ (примерно 1.67),
2. $x \leq \frac{36}{5}$ (примерно 7.2).

Эти неравенства формируют систему, которая ограничивает $x$ с двух сторон. Целочисленные решения системы - это те значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам и являются целыми числами. Исходя из этих условий, целочисленные значения $x$ находятся в диапазоне от 2 до 7 включительно.

Таким образом, целочисленные решения данной системы неравенств - это числа 2, 3, 4, 5, 6, 7.