Биссектрисы углов А и Б при боковой стороне АБ трапеции АБСД пересекаются в точке Ф. Найдите АБ, если АФ=24, БФ=10.

В этой задаче нам нужно найти длину боковой стороны $АБ$ трапеции $АБСД$, если известно, что биссектрисы углов $А$ и $Б$ пересекаются в точке $Ф$, а также даны длины отрезков $АФ = 24$ и $БФ = 10$.

Для решения задачи используем свойство трапеции и теорему о пересечении биссектрис. В трапеции биссектрисы углов $А$ и $Б$ делят боковую сторону $АБ$ на два отрезка, длины которых пропорциональны длинам оснований трапеции. Пусть длина основания $АС$ равна $a$, а длина основания $БС$ равна $b$. Тогда, по теореме о пересечении биссектрис, имеем пропорцию:

Подставляем известные значения:

Это дает нам пропорцию:

Теперь, чтобы найти $АБ$, нужно использовать еще одно свойство трапеции: сумма длин отрезков, на которые делит боковая сторона $АБ$ точка пересечения биссектрис, равна длине этой боковой стороны. Таким образом, длина боковой стороны $АБ$ равна сумме отрезков $АФ$ и $БФ$:

Ответ: $АБ = 34$.