Сторона основания четырёхугольной пирамиды равна 10, боковые рёбра равны 13. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Основание — квадрат со стороной $a = 10$.
Все боковые рёбра равны $l = 13$, значит пирамида — правильная.

1. Высота пирамиды

Пусть $O$ — центр основания, $A$ — любая вершина квадрата, $S$ — вершина пирамиды.
Треугольник $SAO$ прямоугольный в $O$:

По теореме Пифагора:

2. Апофема (высота боковой грани)

Возьмём середину $M$ ребра основания. В треугольнике $SMO$

3. Площадь поверхности

• Площадь основания:

  $$S_{\text{осн}} = a^{2}=10^{2}=100.$$

• Площадь одной боковой грани (равнобедренного треугольника):

  $$S_{\text{бок\;1}}=\frac12\;a\;s=\frac12\cdot10\cdot12=60.$$

• Площадь всех четырёх боковых граней:

  $$S_{\text{бок}} = 4\cdot60 = 240.$$

• Полная площадь поверхности:

  $$S_{\text{пов}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 100 + 240 = 340.$$

Ответ: $340$.