Радиус шара равен R .Определите объем шарового сектра ,если дуга в осевом сечении сектора равно 90 градусов

Для решения задачи нужно воспользоваться формулой объема шарового сектора. Шаровой сектор — это часть шара, ограниченная сферической поверхностью и конической поверхностью, проходящей через радиус и центр шара.

Дано:

• Радиус шара $R$.
• Угол в осевом сечении сектора равен $90^\circ$.

1. Определим необходимые формулы

Объем шарового сектора можно выразить через формулу:

где $h$ — высота сегмента (расстояние от основания сектора до его вершины, то есть высота отрезанного сегмента).

2. Найдем высоту $h$

Когда угол дуги в осевом сечении равен $90^\circ$, высота $h$ шарового сегмента (отрезанной части) составляет половину радиуса шара. Это связано с тем, что при $90^\circ$ дуга в осевом сечении сектора описывает четверть окружности, а высота, соответственно, будет равна $R/2$.

Таким образом:

3. Подставим значения в формулу объема

Теперь, когда высота $h = \frac{R}{2}$, подставим это значение в формулу объема шарового сектора:

Упростим выражение:

Ответ:

Объем шарового сектора, если радиус шара равен $R$ и дуга в осевом сечении сектора составляет $90^\circ$, равен: