диогонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. отрезок SO- перпендикуляр к плоскости квадрата, SO=4 корень из 2. докажите равенство углов, образуемых прямыми SA, SB, SC и SD с плоскостью квадрата. Найдите эти углы, если периметр ABCD равен 32см

Подробное решение

Задача: Мы хотим доказать равенство углов между прямыми $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ и плоскостью квадрата $ABCD$, а также найти значение этих углов.

1. Геометрическая постановка задачи

Квадрат $ABCD$ расположен в плоскости $xy$, его диагонали пересекаются в точке $O$. Отрезок $SO$ является перпендикуляром к этой плоскости, а его длина равна $SO = 4\sqrt{2}$. Это значит, что точка $S$ находится над центром квадрата $O$ на расстоянии $4\sqrt{2}$. Периметр квадрата равен $P = 32 \, \text{см}$, следовательно, сторона квадрата $a = \frac{P}{4} = 8 \, \text{см}$.

Диагонали квадрата равны $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = 8\sqrt{2}$ и пересекаются в точке $O$, деля друг друга пополам. Тогда $OA = OB = OC = OD = \frac{d}{2} = 4\sqrt{2}$.

2. Координаты ключевых точек

Для удобства разместим квадрат $ABCD$ в декартовой системе координат. Пусть:

• $O = (0, 0, 0)$ — центр квадрата,
• $A = (-4, -4, 0)$,
• $B = (4, -4, 0)$,
• $C = (4, 4, 0)$,
• $D = (-4, 4, 0)$,
• $S = (0, 0, 4\sqrt{2})$.

3. Угол между прямой и плоскостью

Угол $\theta$ между прямой $SA$ и плоскостью квадрата определяется через косинус угла. Для этого найдём косинус угла между прямой $SA$ и вектором нормали $\vec{n}$ к плоскости, так как $\cos\theta = \sqrt{1 - (\cos\varphi)^2}$, где $\varphi$ — угол между прямой и нормалью.

Нормаль $\vec{n}$ к плоскости квадрата направлена вдоль оси $z$, то есть $\vec{n} = (0, 0, 1)$.

4. Векторы и вычисления

Вектор $\vec{SA}$:

Косинус угла между $\vec{SA}$ и $\vec{n}$:

Скалярное произведение: