Радиус основания конуса равен 10 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 45. Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми 30 и площадь боковой поверхности конуса.

Чтобы решить задачу, начнем с анализа двух искомых величин: площади сечения, проходящего через две образующие, и площади боковой поверхности конуса. Даны параметры:

• Радиус основания конуса $R = 10 \, \text{см}$.
• Угол наклона образующей к основанию $\alpha = 45^\circ$.
• Угол между образующими в сечении $\beta = 30^\circ$.

1. Найдем длину образующей $L$

Образующая $L$ конуса связана с высотой $h$ и радиусом основания $R$. Поскольку образующая наклонена к плоскости основания под углом $\alpha = 45^\circ$, можем использовать тригонометрическое соотношение в прямоугольном треугольнике, образованном радиусом $R$, высотой $h$ и образующей $L$.

Подставим значения:

Теперь у нас есть длина образующей: $L = 10 \sqrt{2} \, \text{см}$.

2. Площадь боковой поверхности конуса

Формула для площади боковой поверхности $S_{\text{бок}}$ конуса:

Подставим значения $R = 10 \, \text{см}$ и $L = 10 \sqrt{2} \, \text{см}$:

Итак, площадь боковой поверхности конуса равна $S_{\text{бок}} = 100 \pi \sqrt{2} \, \text{см}^2$.

3. Площадь сечения, проходящего через две образующие

Сечение, проходящее через две образующие конуса, представляет собой равнобедренный треугольник с вершиной в центре основания конуса и двумя сторонами, равными длине образующей $L$. Угол между образующими в этом сечении равен $\beta = 30^\circ$.

Площадь такого треугольника $S_{\text{сеч}}$ можно найти по формуле:

Подставим значения $L = 10 \sqrt{2} \, \text{см}$ и $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$:

Раскроем скобки и упростим:

Ответ

• Площадь боковой поверхности конуса: $S_{\text{бок}} = 100 \pi \sqrt{2} \, \text{см}^2$.
• Площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми $30^\circ$: $S_{\text{сеч}} = 50 \, \text{см}^2$