В углу комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда лежит шар объемом 36 пи дм кубич., который ксается трех граней этой комнаты , имеющих общую точку. Найти расстояние от центра шара до этой точки (вершины угла комнаты)

Рассмотрим задачу. Нам известно, что в углу комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, лежит шар, объём которого равен $36 \pi$ кубических дециметров, и этот шар касается трёх граней комнаты, имеющих общую точку — вершину угла комнаты. Задача состоит в том, чтобы найти расстояние от центра шара до этой точки (вершины угла комнаты).

1. Найдем радиус шара. Из условия нам известен объем шара:

   $$V = 36 \pi \text{ дм}^3$$

   Формула объема шара:

   $$V = \frac{4}{3} \pi R^3$$

   Подставим значение объема и решим уравнение относительно $R$:

   $$\frac{4}{3} \pi R^3 = 36 \pi$$

   Упрощаем, деля обе стороны на $\pi$:

   $$\frac{4}{3} R^3 = 36$$

   Умножим обе стороны на $3/4$:

   $$R^3 = 27$$

   Теперь возьмем кубический корень:

   $$R = \sqrt[3]{27} = 3 \text{ дм}$$

   Итак, радиус шара $R = 3$ дм.

2. Определим положение шара и расстояние от его центра до вершины угла комнаты. Поскольку шар касается трёх граней, имеющих общую вершину, его центр находится на расстоянии, равном радиусу $R$, от каждой из этих граней.

   Таким образом, центр шара расположен в точке, удаленной на $R = 3$ дм от каждой из трех перпендикулярных граней комнаты, сходящихся в вершине. Это значит, что центр шара находится от вершины комнаты на расстоянии, равном гипотенузе прямоугольного треугольника в трёхмерном пространстве, где катеты равны $R$.

3. Вычислим расстояние от центра шара до вершины. Это расстояние можно найти, используя теорему Пифагора в трех измерениях. Если $O$ — точка центра шара, а $A$ — вершина угла комнаты, то расстояние $OA$ можно найти как:

   $$OA = \sqrt{R^2 + R^2 + R^2} = \sqrt{3R^2}$$

   Подставим значение $R = 3$:

   $$OA = \sqrt{3 \cdot 3^2} = \sqrt{3 \cdot 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ дм}$$

Итак, расстояние от центра шара до вершины угла комнаты равно $3\sqrt{3}$ дм.