Найти объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны √3.

У правильной шестиугольной призмы — все боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания и равны по длине рёбрам правильного шестиугольника-основания. Пусть каждое ребро равно $a=\sqrt3$.

1. Площадь основания

Разобьём правильный шестиугольник на шесть равных правильных треугольников со стороной $a$.

• Площадь одного такого треугольника

  $$S_{\triangle}\;=\;\frac{\sqrt3}{4}a^{2} \;=\;\frac{\sqrt3}{4}\,(\sqrt3)^{2} \;=\;\frac{\sqrt3}{4}\,\cdot 3 \;=\;\frac{3\sqrt3}{4}.$$

• Площадь шестигранника

  $$S_{\text{осн}}\,=\,6\,S_{\triangle} \;=\;6\cdot\frac{3\sqrt3}{4} \;=\;\frac{18\sqrt3}{4} \;=\;\frac{9\sqrt3}{2}.$$

2. Высота призмы

Высота призмы $h$ равна её боковому ребру, то есть

3. Объём призмы

Таким образом, объём правильной шестиугольной призмы со всеми рёбрами длиной $\sqrt3$ равен $27/2$ (или $13{,}5$) кубических единиц.