Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 12 а угол между боковой гранью и основанием равен 45' найдите объём пирамиды

Для нахождения объёма правильной шестиугольной пирамиды с основанием в виде правильного шестиугольника, где сторона основания равна 12, а угол между боковой гранью и основанием равен 45°, нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдём площадь основания

Основание пирамиды представляет собой правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника можно выразить через сторону $a$ следующим образом:

Подставляем $a = 12$:

Таким образом, площадь основания шестиугольной пирамиды равна $216\sqrt{3}$.

Шаг 2: Найдём высоту пирамиды

Из условия задачи мы знаем угол между боковой гранью и основанием пирамиды, который равен 45°. Этот угол — это угол между наклонной стороной боковой грани и плоскостью основания. Мы будем использовать это для нахождения высоты пирамиды.

Высота пирамиды $h$ связана с апофемой боковой грани $a_{\text{бок}}$ следующим образом:

где $r$ — радиус вписанной окружности в основании (расстояние от центра шестиугольника до середины стороны).

Для правильного шестиугольника радиус вписанной окружности $r$ равен стороне основания:

Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:

Таким образом, высота пирамиды равна 12.

Шаг 3: Найдём объём пирамиды

Объём пирамиды можно вычислить по формуле:

Подставляем значения:

Ответ

Объём правильной шестиугольной пирамиды равен $864\sqrt{3}$ кубических единиц.