Найти сторону основания и апофему правильной треугольной пирамиды ,если ее боковое ребро равно 10 см ,а площадь боковой поверхности равна 144см в квадрате

Чтобы найти сторону основания и апофему правильной треугольной пирамиды, воспользуемся данными задачи:

1. Боковое ребро пирамиды ($l$) равно 10 см.
2. Площадь боковой поверхности ($S_{\text{бок}}$) равна 144 см².
3. Основание пирамиды — правильный треугольник.

Решение:

1. Формула для площади боковой поверхности

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды выражается через площадь всех трёх боковых граней:

где:

• $P$ — периметр основания,
• $a$ — апофема пирамиды.

Так как основание — правильный треугольник, его периметр равен:

где $b$ — сторона основания.

Подставим $P = 3b$ в формулу площади:

Учитывая, что $S_{\text{бок}} = 144$, имеем:

2. Выразим апофему через боковое ребро

Апофема правильной пирамиды — это высота боковой грани, которая является равнобедренным треугольником. Этот треугольник имеет основание $b$ и равные боковые стороны $l = 10$. Высота этого треугольника (апофема $a$) находится через теорему Пифагора:

Подставим $l = 10$:

3. Подставим апофему в уравнение площади

Подставим $a = \sqrt{100 - \frac{b^2}{4}}$ в формулу площади боковой поверхности:

Упростим:

Разделим обе стороны на 3:

Возведем обе стороны в квадрат:

Раскроем скобки:

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби:

Перепишем уравнение:

4. Замена переменной

Обозначим $x = b^2$. Тогда уравнение принимает вид:

Решим квадратное уравнение по формуле: