В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 42 , высота равна 7√6. Найдите плоский угол при вершине пирамиды

Чтобы найти плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды, нужно рассмотреть геометрические особенности фигуры и воспользоваться тригонометрическими соотношениями.

Шаг 1. Определим данные

• Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной $a = 42$.
• Высота пирамиды $H = 7\sqrt{6}$.

Правильная треугольная пирамида обладает следующими свойствами:

• Основание — равносторонний треугольник.
• Вершина проецируется в центр основания, который является центром описанной окружности основания.
• Плоский угол при вершине пирамиды — угол между любыми двумя боковыми гранями.

Шаг 2. Найдем радиус описанной окружности основания

Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности вычисляется как:

Подставляем $a = 42$:

Шаг 3. Найдем длину апофемы пирамиды

Апофема — это высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к середине стороны основания. Она образует прямоугольный треугольник с вершиной, радиусом описанной окружности основания и высотой пирамиды $H$.

По теореме Пифагора апофема $l$ определяется как:

Подставляем значения $H = 7\sqrt{6}$ и $R = 14\sqrt{3}$:

Шаг 4. Угол между боковыми гранями

Рассмотрим треугольник, образованный вершиной пирамиды и двумя соседними вершинами основания. Этот треугольник равнобедренный, с основанием $a = 42$ и боковыми сторонами $l = 21\sqrt{2}$. Плоский угол при вершине пирамиды $\varphi$ — это угол между боковыми гранями, который совпадает с углом между боковыми сторонами этого треугольника.

Для нахождения угла $\varphi$ используем косинусную теорему:

Подставляем значения:

Рассчитаем каждое слагаемое:

Таким образом, $\varphi = 90^\circ$.

Ответ:

Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен $90^\circ$.