Докажите, что биссектриса внутреннего угла параллелограмма отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник. Может ли этот треугольник быть ещё и равносторонним?

Для доказательства того, что биссектриса внутреннего угла параллелограмма отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник, рассмотрим параллелограмм ABCD, где угол $\angle ABC$ — это внутренний угол параллелограмма. Пусть биссектриса этого угла пересекает противоположную сторону параллелограмма CD в точке E.

1. Рассмотрим, что такое биссектриса. Биссектриса угла — это отрезок, который делит угол пополам. То есть, угол $\angle ABC$ делится пополам.

2. Равенство углов. Из того, что биссектриса делит угол пополам, можно утверждать, что угол $\angle ABE$ равен углу $\angle EBC$, то есть $\angle ABE = \angle EBC$.

3. Равенство сторон. Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то $AB = CD$, а $AD = BC$.

4. Треугольник ABE. Треугольник ABE является частью параллелограмма, и биссектриса делит угол пополам, образуя треугольник, у которого два угла равны. Следовательно, треугольник ABE является равнобедренным, так как его два угла равны, а две стороны (AB и BE) являются сторонами параллелограмма и, следовательно, равны.

Таким образом, биссектриса угла отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник.

Теперь рассмотрим, может ли этот треугольник быть равносторонним. Для этого нужно, чтобы все три стороны треугольника были равны. Треугольник ABE будет равносторонним, если выполняется условие, что все его стороны $AB$, $BE$ и $AE$ равны.

Для того чтобы треугольник ABE был равносторонним, необходимо, чтобы углы $\angle ABE$ и $\angle EBC$ были равны 60°, так как в равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Однако это возможно только в случае, когда параллелограмм является прямоугольным, а угол $\angle ABC$ равен 90°.

Таким образом, равносторонний треугольник может быть отсечен биссектрисой только в случае, если параллелограмм является прямоугольным. В остальных случаях треугольник будет равнобедренным, но не равносторонним.