К окружности радиуса 12 см проведены две касательные, образующие прямой угол. Прямая, проведенная через центр окружности, отсекает на одной стороне угла отрезок 28 см. Найдите длину отрезка, который отсекает эта прямая на другой стороне угла.
Помогите, пожалуйста!

Давайте разберем задачу подробно.

Условие задачи:

1. У нас есть окружность с радиусом $r = 12$ см.
2. К окружности проведены две касательные, которые образуют прямой угол между собой.
3. Прямая, проведённая через центр окружности, пересекает обе касательные, отсекая на одной из них отрезок длиной $28$ см.
4. Необходимо найти длину отрезка, который эта прямая отсекает на другой стороне угла.

Разбор:

1. Рассмотрим геометрию окружности и касательных:
   • Точки касания касательных с окружностью обозначим как $A$ и $B$.
   • Центр окружности обозначим $O$.
   • Касательные $PA$ и $PB$ (где $P$ — точка пересечения касательных) перпендикулярны, то есть $\angle APB = 90^\circ$.
   • Прямая, проходящая через центр окружности $O$, пересекает обе касательные в точках $M$ и $N$. Нам известно, что $OM = 28$, и требуется найти $ON$.

2. Свойства касательных:

   • Расстояние от центра окружности $O$ до любой касательной равно радиусу окружности, $r = 12$. Поэтому отрезки $OA$ и $OB$ (перпендикуляры от $O$ к касательным) равны $12$ см.

3. Разделение задачи на треугольники:

   • Треугольник $OAP$ прямоугольный ($\angle OAP = 90^\circ$).
   • Треугольник $OBP$ также прямоугольный ($\angle OBP = 90^\circ$).
   • Центр $O$ находится на биссектрисе угла $\angle APB$, так как прямая через $O$ симметрична относительно угла.

4. Координаты и расположение:

   • Поставим точку $P$ в начало координат.
   • Касательная $PA$ будет горизонтальной, а $PB$ — вертикальной.
   • Прямая $OMN$, проходящая через центр $O$, пересекает $PA$ в $M$ (с координатами $(28, 0)$) и $PB$ в $N$ (с координатами $(0, y)$).

5. Пропорциональность и длины отрезков:

   • Рассмотрим треугольник $OAP$. В нём $OA = 12$, $OM = 28$, и гипотенуза $OP$ можно найти по теореме Пифагора: $$OP = \sqrt{OM^2 + OA^2} = \sqrt{28^2 + 12^2} = \sqrt{784 + 144} = \sqrt{928}.$$
   • Теперь обратимся к треугольнику $OBP$. Он также прямоугольный, с $OB = 12$. Так как $OM$ и $ON$ отсекаются симметрично, то их соотношение сохраняется.

6. Рассчитываем $ON$:

   • Треугольники $OAP$ и $OBP$ симметричны относительно биссектрисы, а отрезки на касательных пропорциональны. Таким образом, длина $ON$ совпадает с $OM$ и равна $28$.

Ответ:

Длина отрезка $ON$, отсекаемого прямой на другой касательной, также равна 28 см.