Основанием прямой призмы служит ромб с диагоналями, равными 9 и 12, и боковым ребром, равным 6. Найти площадь поверхности призмы.

Для нахождения площади поверхности прямой призмы с основанием в виде ромба, необходимо найти несколько элементов:

1. Площадь основания (ромба):

   Площадь ромба вычисляется по формуле:

   $$S_{\text{основания}} = \frac{d_1 \times d_2}{2}$$

   где $d_1$ и $d_2$ — это диагонали ромба. Подставим данные:

   $$S_{\text{основания}} = \frac{9 \times 12}{2} = 54$$

   То есть площадь основания ромба составляет 54 квадратных единиц.

2. Периметр основания:

   Для того чтобы найти периметр ромба, нужно знать длину его стороны. Сторона ромба может быть найдена с помощью формулы для диагоналей:

   $$a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}$$

   Подставим значения диагоналей:

   $$a = \sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^2 + \left(\frac{12}{2}\right)^2} = \sqrt{4.5^2 + 6^2} = \sqrt{20.25 + 36} = \sqrt{56.25} = 7.5$$

   Периметр основания ромба $P_{\text{основания}}$ равен:

   $$P_{\text{основания}} = 4 \times a = 4 \times 7.5 = 30$$

3. Площадь боковых граней:

   Боковые грани прямой призмы — это прямоугольники. Каждый прямоугольник имеет длину, равную боковому ребру призмы (в данном случае 6), и ширину, равную стороне основания (в данном случае 7.5). Площадь одной боковой грани будет равна:

   $$S_{\text{боковой грани}} = a \times h = 7.5 \times 6 = 45$$

   Так как боковых граней 4, общая площадь боковых граней составит:

   $$S_{\text{боковые грани}} = 4 \times 45 = 180$$

4. Площадь поверхности призмы:

   Площадь поверхности прямой призмы складывается из площади двух оснований и площади боковых граней:

   $$S_{\text{поверхности}} = 2 \times S_{\text{основания}} + S_{\text{боковые грани}} = 2 \times 54 + 180 = 108 + 180 = 288$$

Итак, площадь поверхности прямой призмы равна 288 квадратных единиц.