Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны 11 см, 19 см, 20 см. Найти диагональ параллелепипеда.

Для нахождения диагонали прямоугольного параллелепипеда, зная диагонали его граней, можно воспользоваться следующими шагами.

Пусть длины рёбер прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$. Тогда диагонали граней можно выразить через эти рёбра:

1. Диагональ грани, на которой рёбра $a$ и $b$:
   $\sqrt{a^2 + b^2} = 11$

2. Диагональ грани, на которой рёбра $b$ и $c$:
   $\sqrt{b^2 + c^2} = 19$

3. Диагональ грани, на которой рёбра $a$ и $c$:
   $\sqrt{a^2 + c^2} = 20$

Теперь решим систему уравнений. Из каждого уравнения можно выразить суммы квадратов рёбер:

1. $a^2 + b^2 = 11^2 = 121$

2. $b^2 + c^2 = 19^2 = 361$

3. $a^2 + c^2 = 20^2 = 400$

Теперь нужно решить эту систему уравнений для нахождения $a^2$, $b^2$ и $c^2$. Сложим все три уравнения:

Это даёт:

Разделим обе стороны на 2:

Теперь из этого уравнения можно найти одно из значений. Для этого вычитаем из $a^2 + b^2 + c^2 = 441$ каждое из уравнений:

1. $c^2 = 441 - (a^2 + b^2) = 441 - 121 = 320$

2. $a^2 = 441 - (b^2 + c^2) = 441 - 361 = 80$

3. $b^2 = 441 - (a^2 + c^2) = 441 - 400 = 41$

Теперь, зная значения квадратов рёбер, находим сами рёбра:

• $a = \sqrt{80} \approx 8.944$

• $b = \sqrt{41} \approx 6.403$

• $c = \sqrt{320} \approx 17.888$

Теперь, чтобы найти диагональ параллелепипеда, используем формулу для диагонали трёхмерного тела:

Подставляем значения:

Таким образом, диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 21 см.