Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3см и 5см, большая из диагоналей его боковых граней образует с плоскостью основания угол 60 градусов. Найти площадь полной поверхности параллелепипеда.

Чтобы найти площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, нужно учитывать все его грани: две грани, равные основаниям, и четыре боковые грани.

Шаг 1. Дано:

• Стороны основания прямоугольного параллелепипеда: $a = 3 \, \text{см}$ и $b = 5 \, \text{см}$.
• Большая диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол $60^\circ$.

Шаг 2. Найдем размеры боковых граней

Параллелепипед имеет четыре боковые грани, каждая из которых представляет собой прямоугольник. У нас есть две разные боковые грани:

1. Одна грань имеет размеры $a \times h_1$, где $h_1$ — высота параллелепипеда.
2. Другая грань имеет размеры $b \times h_2$, где $h_2$ — высота параллелепипеда.

Для начала, определим величину диагонали боковой грани. Большая диагональ будет диагональю прямоугольника с размерами $a$ и $h_1$, то есть её длина можно найти по теореме Пифагора:

Аналогично, для второй боковой грани с размерами $b$ и $h_2$ диагональ будет:

Из условия задачи известно, что большая из диагоналей (то есть $d_2$) образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Это позволяет нам найти высоту $h_2$ по следующей формуле:

В этом уравнении $a$ — это основание параллелепипеда, а $d_2$ — длина диагонали боковой грани, которая образует угол $60^\circ$ с основанием.

Шаг 3. Рассчитаем площади граней

После того как мы найдем значения $h_1$ и $h_2$, можем перейти к вычислению полной площади поверхности. Полная площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда состоит из двух оснований и четырёх боковых граней. Формула для площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:

где:

• $2ab$ — площадь двух оснований,
• $2a h_1$ — площадь двух боковых граней с размерами $a \times h_1$,
• $2b h_2$ — площадь двух боковых граней с размерами $b \times h_2$.

Подставив найденные значения $h_1$ и $h_2$, можно вычислить точное значение полной площади поверхности параллелепипеда.