В основании призмы лежит ромб, диагонали которого равны 6 и 8 см, а боковое ребро 10 см. Найти площадь полной поверхности призмы.

Для нахождения площади полной поверхности призмы нужно учесть две части: площадь основания и площадь боковых граней.

1. Площадь основания: Основанием призмы является ромб. Чтобы найти его площадь, используем формулу для площади ромба через его диагонали:

   $$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$$

   где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба. Из условия задачи диагонали равны 6 см и 8 см, следовательно:

   $$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \, \text{см}^2$$

2. Площадь боковых граней: Каждая боковая грань призмы — это прямоугольный параллелепипед с основанием, являющимся стороной ромба, и высотой, равной боковому ребру призмы.

   Чтобы найти сторону ромба, используем теорему Пифагора. Диагонали ромба пересекаются перпендикулярно, и каждая половина диагонали будет половиной длины соответствующей диагонали. Из этого следует, что каждая сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными половинам диагоналей:

   $$a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2 + \left(\frac{8}{2}\right)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \text{см}$$

   Таким образом, сторона ромба равна 5 см. Теперь для нахождения площади боковых граней нужно умножить периметр основания на высоту призмы (боковое ребро). Периметр основания (ромба) равен 4 умножить на сторону ромба:

   $$P = 4 \times a = 4 \times 5 = 20 \, \text{см}$$

   Площадь боковых граней вычисляется как периметр основания, умноженный на высоту (боковое ребро):

   $$S_{\text{бок}} = P \times h = 20 \times 10 = 200 \, \text{см}^2$$

3. Площадь полной поверхности: Площадь полной поверхности призмы — это сумма площади двух оснований и площади боковых граней. Основания имеют одинаковую площадь, поэтому:

   $$S_{\text{полн}} = 2 \times S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2 \times 24 + 200 = 48 + 200 = 248 \, \text{см}^2$$

Ответ: Площадь полной поверхности призмы равна 248 см².