Равнобокая трапеция вписана в окружность, радиус равен 25, основания трапеции 14 и 40. Найти высоту трапеции.

Рассмотрим условия задачи:

Имеется равнобокая трапеция, вписанная в окружность.
Это значит, что трапеция является описанной, а описанной может быть только равнобокая трапеция (у которой боковые стороны равны).
Также дано:

• Радиус описанной окружности $R = 25$

• Основания трапеции: $a = 14$, $b = 40$ (предположим, что $a < b$)

• Нужно найти высоту трапеции.

Шаг 1: Свойство описанной трапеции

Равнобокая трапеция вписана в окружность ⇒ она вписанная, то есть все её вершины лежат на окружности.

У вписанной трапеции сумма противоположных углов равна 180°, а значит трапеция может быть вписана в окружность только если она равнобокая. Это условие уже выполнено.

Шаг 2: Центр окружности — середина диагонали

В окружности, вписанной в равнобокую трапецию, центр окружности — это точка пересечения диагоналей, а диагонали трапеции равны.

Можно воспользоваться свойством: вписанную трапецию можно вписать в окружность, если она равнобокая, и тогда диагонали равны, и можно найти высоту через сторону, основание и радиус.

Шаг 3: Построим треугольник с вершинами на концах оснований и вершиной в центре окружности

Проведём диагональ. В равнобокой трапеции она делит её на два равных треугольника. У вписанной трапеции диагонали являются хордами круга, поэтому мы можем использовать теорему косинусов в треугольнике, или, ещё лучше — воспользоваться геометрическим методом, описанным ниже.

Шаг 4: Вписанная трапеция — вписанный четырёхугольник

Для любого вписанного четырёхугольника, можно найти его стороны и углы через центральные углы.

Но есть более простой метод:

Шаг 5: Вспомогательный метод — через вписанный треугольник

Так как трапеция вписана в окружность, и у нас есть оба основания и радиус окружности, воспользуемся следующим методом:

Пусть трапеция $ABCD$, где $AB = 14$, $CD = 40$, боковые стороны $AD = BC$, и она вписана в окружность радиуса $R = 25$.

Раз трапеция вписана в окружность, то её можно рассматривать как составленную из двух равных треугольников, например, треугольника $ABC$ и $DAB$, с общей высотой.

Можно рассмотреть вписанный четырёхугольник и использовать следующую формулу:

Шаг 6: Используем формулу высоты трапеции, вписанной в окружность

У равнобокой трапеции, вписанной в окружность, высоту можно найти по формуле:

где:

• $R$ — радиус окружности,

• $a$ и $b$ — основания трапеции (предположим, что $a < b$),

• $h$ — высота.

Подставим значения:

Ответ:

Высота трапеции примерно равна $\boxed{21.35}$.