Равнобокая трапеция описана около окружности с радиусом 12дм.Точка касания делит ее боковую строну в отношении 9:4.Найдите среднюю линию трапеции

Рассмотрим равнобокую трапецию $ABCD$, описанную около окружности с радиусом $r = 12 \, \text{дм}$. Задача — найти длину средней линии трапеции, пользуясь данными о делении боковой стороны точкой касания.

Шаг 1: Свойства трапеции, описанной около окружности

1. Свойство сторон трапеции: У трапеции, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

   $$AB + CD = AD + BC$$

   Здесь $AB$ и $CD$ — основания, а $AD$ и $BC$ — боковые стороны.

2. Средняя линия трапеции: Длина средней линии $m$ равна полусумме длин оснований:

   $$m = \frac{AB + CD}{2}.$$

Шаг 2: Используем отношение деления боковой стороны

Пусть боковая сторона $AD$ равна $x$. Точка касания делит её в отношении $9:4$, поэтому отрезки составляют:

Так как $AD = BC$ (равнобокая трапеция), аналогичные отрезки присутствуют и на другой боковой стороне.

Шаг 3: Используем радиус вписанной окружности

Периметр трапеции выражается через радиус вписанной окружности:

но для нас важно, что окружность касается всех сторон трапеции. Подсчёт длин оснований через касательные к окружности даёт:

Шаг 4: Средняя линия трапеции

Сумма оснований:

Длина средней линии:

Шаг 5: Связь боковой стороны с радиусом окружности

Каждая боковая сторона $AD$ равна удвоенному радиусу:

Следовательно:

Ответ:

Средняя линия трапеции равна $m = x = 24 \, \text{дм}$.