В окружность радиуса 41 вписана трапеция, основания которой равны 18 и 80, причем центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту этой трапеции.

Задача заключается в нахождении высоты трапеции, вписанной в окружность. Для этого нам нужно использовать некоторые свойства трапеции и окружности, а также геометрические теоремы.

Шаг 1. Понимание задачи

Дано:

• Радиус окружности $R = 41$.
• Основания трапеции $a = 80$ и $b = 18$.
• Трапеция вписана в окружность, то есть ее вершины лежат на окружности, и центр окружности находится внутри трапеции.

Из условия следует, что трапеция является треугольной трапецией, то есть её боковые стороны касаются окружности, а сам центр окружности лежит внутри трапеции.

Шаг 2. Использование формулы для площади трапеции

Для трапеции, вписанной в окружность, можно использовать несколько свойств. Одно из них заключается в том, что для таких трапеций выполняется равенство:

где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $R$ — радиус окружности.

Шаг 3. Подставим известные значения

Теперь подставим значения из условия задачи:

• $a = 80$,
• $b = 18$,
• $R = 41$.

Подставляем эти значения в формулу для высоты трапеции:

Сначала вычислим выражения в скобках:

так что

Теперь вычислим квадрат радиуса:

и подставим это значение:

Вычитаем произведение и умножение:

Тогда получаем:

Вычитаем квадратный корень:

Таким образом:

Ответ:

Высота трапеции примерно равна $56.57$.