Каждая боковая грань треугольной пирамиды наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найди высоту пирамиды, если в её основании лежит треугольник со сторонами 17, 17 и 30.

Рассмотрим, что нам дано:

• Основание пирамиды — треугольник со сторонами 17, 17 и 30. Это равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны по 17, а основание — 30.

• Каждая боковая грань (треугольник с вершиной пирамиды и стороной основания) наклонена к плоскости основания под углом 45°.

• Нужно найти высоту пирамиды — расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания.

Шаг 1. Разберемся с основанием

Треугольник в основании — равнобедренный с основанием 30 и боковыми сторонами по 17.

Проведём высоту из вершины, противоположной основанию 30. Эта высота:

• Опустится на середину основания (так как треугольник равнобедренный),

• Разобьёт основание на два отрезка по 15.

Используем теорему Пифагора, чтобы найти высоту $h_0$ основания:

Значит, высота основания равна 8, и центр основания — точка пересечения высоты и основания длиной 30.

Шаг 2. Геометрия пирамиды

Обозначим:

• $O$ — основание высоты пирамиды на плоскости основания,

• $S$ — вершина пирамиды,

• $SO$ — высота пирамиды (то, что нужно найти),

• $SA$ — ребро пирамиды (боковая грань),

• $\angle(SA, \text{плоскость основания}) = 45^\circ$

По определению угла между прямой и плоскостью: если прямая наклонена к плоскости под углом 45°, то угол между прямой и её проекцией на плоскость — 45°.

То есть, если проекция ребра $SA$ на основание — отрезок $OA$, и угол между $SA$ и $OA$ равен 45°, то мы можем использовать тригонометрию.

Рассмотрим треугольник $SAO$, где:

• $\angle SAO = 45^\circ$,

• $AO$ — проекция ребра на основание,

• $SO$ — высота пирамиды, перпендикуляр к плоскости основания.

Тогда из треугольника:

Значит, высота пирамиды равна расстоянию от точки $A$ (основания бокового ребра) до центра основания.

Шаг 3. Найдём это расстояние

Точка $A$ — одна из вершин основания, лежащая на конце основания 30. Центр основания — середина этого основания (мы уже находили его при расчёте высоты основания).

Таким образом, отрезок $AO$ — это медиана, проведённая из вершины равнобедренного треугольника к середине основания.

Ранее мы нашли, что основание разбивается на два отрезка по 15, и высота основания равна 8. То есть треугольник, в основании которого стороны 15 (горизонтально) и 8 (высота), является прямоугольным.

Значит, расстояние от вершины (где сходятся стороны по 17) до середины основания — это:

Ответ

Высота пирамиды равна 17.