Наибольший угол между образующими конуса 60°. Чему равен диаметр основания, если образующая равна 3 см?

Чтобы найти диаметр основания конуса, зная угол между образующими и длину образующей, нужно представить себе развертку конуса и рассмотреть треугольник, образованный двумя образующими и диаметром основания.

Дано:

• Наибольший угол между образующими конуса — 60°.

• Образующая (то есть расстояние от вершины конуса до любой точки на окружности основания) — 3 см.

Этот "наибольший угол между образующими" — это угол при вершине равнобедренного треугольника, который получается при разрезании конуса по образующей и развертывании его в плоскость. На деле, это тот угол, который образуют две образующие с двух сторон основания.

Таким образом, мы имеем равнобедренный треугольник:

• Стороны: две образующие по 3 см,

• Угол между ними: 60°.

Мы ищем основание этого треугольника, которое и будет диаметром основания конуса.

Для этого используем формулу для стороны по двум сторонам и углу между ними (по теореме косинусов):

Но здесь проще воспользоваться формулой для стороны, заключённой между двумя сторонами одинаковой длины и углом между ними:

Где:

• $a = 3$ см — длина образующей,

• $\theta = 60^\circ$,

• $d$ — искомый диаметр.

Подставляем:

Ответ: диаметр основания конуса равен 3 см.