Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВД на прямую пересечения плоскостей. Найти длину отрезка АВ, если АД = 5 см, ВС = 6 см, СД = 4 см.

Рассмотрим задачу с точками A и B, которые находятся в двух перпендикулярных плоскостях. Мы имеем перпендикуляры AC и BD, опущенные из точек A и B на прямую пересечения этих плоскостей. Нам нужно найти длину отрезка AB при данных значениях: AD = 5 см, BC = 6 см и CD = 4 см.

1. Математическая модель. Для удобства рассмотрим систему координат. Пусть прямая пересечения плоскостей лежит на оси $Z$. Обозначим точку пересечения этой прямой с плоскостью, где находится точка A, как точку C. Точка D — это точка пересечения прямой пересечения плоскостей с другой плоскостью, где находится точка B.

2. Геометрические построения:

   • Точки A и B находятся в двух перпендикулярных плоскостях. Поэтому можно представить, что точка A имеет координаты $(0, 0, z_A)$, а точка B — координаты $(x_B, 0, 0)$, где $z_A$ и $x_B$ — высоты точек A и B соответственно.

   • Точки C и D — это проекции точек A и B на прямую пересечения плоскостей. Очевидно, что $C = (0, 0, 0)$ и $D = (0, 0, z_D)$, где $z_D$ — это высота прямой пересечения плоскостей.

3. Расстояния:

   • По условию задачи, мы знаем, что $AD = 5$ см, $BC = 6$ см и $CD = 4$ см.

   • Можно вычислить длину отрезка AB, применяя теорему Пифагора в 3D-пространстве, так как $A$ и $B$ лежат на разных плоскостях и их расстояние можно найти через координаты.

   Длина отрезка AB равна:

   $$AB = \sqrt{AD^2 + BC^2 + CD^2}$$

4. Вычисления:
   Подставляем значения из условия задачи:

   $$AB = \sqrt{5^2 + 6^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 36 + 16} = \sqrt{77}$$

   Таким образом, длина отрезка AB примерно равна $\sqrt{77}$, что приближенно равно 8.77 см.

Ответ: длина отрезка AB равна 8.77 см.