Концы отрезка АВ лежат в двух параллельных плоскостях.Найдите длину отрезка АВ, если он образует со своей проекцией на одну из данных плоскостей угол 45 градусов, а расстояние между данными плоскостями равно 4 корня из 2 дм.

Для решения задачи рассмотрим две параллельные плоскости, между которыми находятся концы отрезка $AB$. Пусть плоскости обозначены как $\alpha$ и $\beta$, и расстояние между ними равно $4 \sqrt{2}$ дм. Обозначим точки $A$ и $B$ как концы отрезка, причём $A$ лежит в плоскости $\alpha$, а $B$ — в плоскости $\beta$.

Пусть проекция отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ равна $A'B'$. Угол между отрезком $AB$ и его проекцией на плоскость $\alpha$ равен $45^\circ$. Нам нужно найти длину отрезка $AB$.

Решение:

1. Анализ условий задачи:

   • Расстояние между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равно $4 \sqrt{2}$ дм.
   • Угол между отрезком $AB$ и его проекцией на плоскость $\alpha$ равен $45^\circ$.

2. Рассмотрим треугольник $ABA'$: Представим, что точка $A'$ — это проекция точки $B$ на плоскость $\alpha$. Таким образом, $A'B'$ является проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$, а $AA'$ — расстояние между плоскостями, которое равно $4 \sqrt{2}$ дм.

   В треугольнике $ABA'$:

   • $AA'$ — катет, равный $4 \sqrt{2}$ дм (так как это расстояние между параллельными плоскостями).
   • $AB$ — гипотенуза, которую нужно найти.
   • Угол между гипотенузой $AB$ и катетом $A'B'$ равен $45^\circ$.

3. Используем тригонометрические свойства: В прямоугольном треугольнике соотношение между катетом $AA'$ и гипотенузой $AB$ через угол $45^\circ$ определяется формулой:

   $$\sin(45^\circ) = \frac{AA'}{AB}.$$

   Подставим значения:

   $$\sin(45^\circ) = \frac{4 \sqrt{2}}{AB}.$$

   Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то уравнение примет вид:

   $$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4 \sqrt{2}}{AB}.$$

4. Решаем уравнение: Умножим обе части на $AB$:

   $$AB \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2}.$$

   Упростим:

   $$AB = 4 \sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 8.$$

   Таким образом, длина отрезка $AB$ равна 8 дм.

Ответ:

Длина отрезка $AB$ равна 8 дм.