Доказать теорему о диагоналях ромба

Теорема о диагоналях ромба утверждает, что диагонали ромба перпендикулярны и делят его на четыре прямоугольных треугольника, равных по площади.

Доказательство:

1. Пусть дан ромб ABCD. Обозначим его диагонали как $AC$ и $BD$. Эти диагонали пересекаются в точке O.

2. В ромбе все стороны равны, то есть $AB = BC = CD = DA$. Диагонали ромба, как известно, пересекаются в центре ромба, деля его на четыре треугольника. Причем они также делят каждую диагональ пополам. То есть:

   $$OA = OC, \quad OB = OD.$$

3. Теперь рассмотрим треугольник $OAB$. Поскольку $OA = OB$ (половины диагоналей), треугольник $OAB$ равнобедренный. Точно такие же равнобедренные треугольники будут получены и для других частей ромба, таких как $OBC$, $OCD$ и $ODA$.

4. Чтобы доказать, что диагонали перпендикулярны, рассмотрим угол между ними. В равнобедренных треугольниках, которые мы рассматриваем, углы при основании равны. Из того, что сумма всех углов ромба 360°, и поскольку ромб состоит из четырёх равнобедренных треугольников, каждый угол между диагоналями будет 90°.

5. Таким образом, диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

Итак, мы доказали, что диагонали ромба перпендикулярны и делят ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника.