На осях координат найдите точки, равноудаленные от концов отрезка ab, если A (4;-3) и B (8;1)

Для того чтобы найти точки, равноудаленные от концов отрезка $AB$ с координатами $A(4, -3)$ и $B(8, 1)$, нам нужно рассмотреть несколько аспектов.

1. Определение точки, равноудаленной от концов отрезка $A$ и $B$:

   Точка $P(x, y)$ будет равноудалена от $A(4, -3)$ и $B(8, 1)$, если расстояния от точки $P$ до $A$ и до $B$ равны между собой. Это условие можно записать как:

   $$\text{Расстояние от } P(x, y) \text{ до } A(4, -3) = \text{Расстояние от } P(x, y) \text{ до } B(8, 1).$$

2. Формула расстояния между двумя точками:

   Расстояние между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ на плоскости вычисляется по формуле:

   $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.$$

   Подставляем координаты точек $A(4, -3)$ и $B(8, 1)$.

   Расстояние от точки $P(x, y)$ до $A(4, -3)$:

   $$\sqrt{(x - 4)^2 + (y + 3)^2}.$$

   Расстояние от точки $P(x, y)$ до $B(8, 1)$:

   $$\sqrt{(x - 8)^2 + (y - 1)^2}.$$

3. Равенство расстояний:

   Чтобы точка $P(x, y)$ была равноудалена от $A$ и $B$, приравняем эти выражения:

   $$\sqrt{(x - 4)^2 + (y + 3)^2} = \sqrt{(x - 8)^2 + (y - 1)^2}.$$

4. Удаление квадратных корней:

   Возводим обе части уравнения в квадрат:

   $$(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = (x - 8)^2 + (y - 1)^2.$$

5. Раскрытие скобок:

   Раскрываем квадратные скобки:

   $$(x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 6y + 9) = (x^2 - 16x + 64) + (y^2 - 2y + 1).$$

6. Упрощение уравнения:

   Сокращаем одинаковые члены $x^2$ и $y^2$ с обеих сторон:

   $$-8x + 16 + 6y + 9 = -16x + 64 - 2y + 1.$$

   Упрощаем:

   $$-8x + 25 + 6y = -16x + 65 - 2y.$$

7. Перенос всех членов с $x$ и $y$ на одну сторону:

   Переносим все термины с $x$ и $y$ в одну часть уравнения, а постоянные члены — в другую:

   $$16x + 8y = 40.$$

8. Упрощение:

   Разделим обе части уравнения на 8:

   $$2x + y = 5.$$

   Это уравнение прямой, на которой лежат все точки, равноудаленные от концов отрезка $AB$.

9. Нахождение пересечений с осями:

   Теперь нужно найти, где эта прямая пересекает оси координат.

   • Пересечение с осью $y$: Когда $x = 0$, подставляем в уравнение